一、背景

1975年，Manacher发明了Manacher算法（马拉车算法），是一个可以在$O(n)$的复杂度中返回字符串s中最长回文子串长度的算法。

二、算法过程分析

1.输入转化

回文串分为奇回文与偶回文，例如，$'ababa'$中字符个数为5且为回文串，所以它是奇回文，而'abba'字符个数为4且为回文串，所以它是偶回文。

显然，奇回文与偶回文很是不一样，比较难处理，所以我们将输入的字符串转换一下，规则如下：

1.在第一个字符前添加一个不常用字符(常用'$'),以此充当边界

2.在最后一个字符后添加一个不常用字符(常用'\0'),以此充当边界

3.在第一个字符前('$'后),最后一个字符后('\0'前)和每两个字符之间添加一个不常用字符(常用'#')

这样以后，上文的'ababa'就会变成'a#b#a#b#a'(边界未标出)，'abba'就会变成'a#b#b#a',它们都是奇回文，这样就会更好处理。

2.过程分析

设$F_i$表示以$i$为中点，回文字符串的最大半径长度。

举个例子。令字符串S='abbadcacda'

显然，最终的答案就为$Max_{s_i \in S}F_i-1$

那么如何求$F_i$呢？

来看一幅图~

其中，$j$表示$i$关于$Mid$的对称点，$N$表示$M$关于$Mid$的对称点，且$M$=$Mid$+$F_{Mid}$

具体来说，$M$就是以$Mid$为中心的最长回文右边界，$i$为当前所求编号。

如果$i<M$(如图)，显然有$F_i$=min($F_j$,$j-N$)

现在知道$N$ ~ $Mid$这段与$Mid$ ~ $M$这段关于$Mid$对称，且$j-F_j$ ~ $j$这段与$j$~$j+F_j$这段关于$j$对称，那么显然有：

①当$j-F_j>=N时$，$i-F_j$ ~ $i$这段与$i$ ~ $i+F_j$这段关于$i$对称

②当$j-F_j<N时$，$Mid$ ~ $i$这段与$Mid$~$M$这段关于$i$对称

$综上，有F_i= \begin{cases} \color{black}min(F_j,j-N)=min(F_{Mid*2-i},M-i)，i<M \\\color{black}1，i>M\\ \end{cases}$

这样以后就可以在O(1)的时间复杂度内知道$i-F_i$ ~ $i+F_i$必定为回文字符串，那么再从此向外暴力寻找，就可以得到$F_i$的最终值

若最终的$F_i+i>M$，那么为了让后面的$F$值可以更快地求出，我们需要更新$Mid$与$M$值，代码如下:

if(F[i]+i>M)
    M=F[i]+i,Mid=i;

三、蒟蒻的代码展示

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=11000010;
char s[N*2];
int F[N*2],ans,pl;
void readn()
{
	char ch=getchar();
	s[0]='S',s[1]='#';pl=1;//注意从1开始
	while(ch<'a'||ch>'z')ch=getchar();
	while(ch>='a'&&ch<='z')s[++pl]=ch,s[++pl]='#',ch=getchar();
	s[++pl]='\0';
}
int main()
{
	readn();
	for(int i=0,M=0,Mid=0;i<=pl;i++)
	{
		if(M>i)F[i]=min(F[(Mid<<1)-i],M-i);
		else F[i]=1;
		while(s[i-F[i]]==s[i+F[i]])F[i]++;
		if(F[i]+i>M)M=F[i]+i,Mid=i;
		ans=max(ans,F[i]-1);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
} 
//**月雩·薇嫭**